En matematiker och gentleman

Napiers logaritmer lovade inte bara att göra astronomernas liv enklare, hans metod gick också att använda inom bankvärlden för att beräkna hur ett kapital växer med ränta på ränta.

John Napier var en förmögen skotsk excentrisk ädling med många strängar på sin lyra. Det berättas att han liksom Arkimedes gjorde en rad militärtekniska uppfinningar – som en automatisk kulspruta, speglar som kunde tända eld på fiendens fartygs segel, en pansarvagn och en artilleripjäs som var så kraftfull att den dödade all boskap inom flera kilometers radie. En uppfinning som han skrämdes av och snabbt övergav.

Ett av hans stora intressen var Bibeln, och han tillbringade många nätter med att läsa Uppenbarelse­boken och kalkylera det exakta datumet för jordens undergång. Matematiken betraktade han som en hobby vid sidan om.

Han roade sig med att konstruera ett multiplikationshjälpmedel kallat Napier’s Bones, med vilket man kunde multiplicera enklare tal utan att använda andra räknesätt än addition.

Vid den här tiden fanns en metod kallad prosthaphaeresis som förenklade beräkningar med mångsiffriga tal. Med hjälp av sinustabeller kunde man göra beräkningar utan att behöva multiplicera och dividera. Metoden hade utvecklats i Tyskland på 1500-talet och användes av bland andra astronomen Tycho Brahe, men den var långt ifrån optimal. Napier beslöt sig för att skapa en bättre metod. Resultatet blev vad han kallade logaritmer efter grekiskans logos, princip, och aritmos, räkning.

Det sägs att Napier upptäckte sina logaritmer år 1590 och sedan tillbringade över 20 år med att räkna ut logaritmtabeller. Hans upptäckt väckte omedelbart stort intresse bland astronomer över hela Europa, men de fick ge sig till tåls ända till år 1614 när hans tabeller äntligen publicerades och den nya räknetekniken kunde användas.

Serier av tal

Vad är då logaritmer? Här är ett exempel. Vi tänker oss två serier av tal:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512

Undre raden är en geometrisk serie där talen hela tiden fördubblas: 1, 2, (2·2), (2·2·2), (2·2·2·2) etc, vilket med modern notation också kan skrivas 2⁰, 2¹, 2², 2³ etc. Som synes har vi gjort en tabell där vi kan se vad resultatet blir om ett antal tvåor multipliceras med varandra. Vi ser att 2³=8 och 2⁶=64. Låt oss nu multiplicera dessa tal. Då får vi (2·2·2)·(2·2·2·2·2·2)=2³·2⁶ = 2⁽³⁺⁶⁾=2⁹=512. Vips har multiplikationen förvandlats till addition. Det krävs förstås att vi vet att 8 är 2³, att 64 är 2⁵ och att 2⁹=512. Men det kan vi ju se i vår tabell.

Tyvärr är vår logaritmtabell med basen två något begränsad. Den innehåller ju bara några enstaka tal. Men om vi ansträngde oss skulle vi kunna fylla i luckorna och räkna ut till vad två behöver upphöjas för att bli tre, fem och alla andra tal vi kan komma använda i våra räkningar, och detta med lämpligt antal siffrors noggrannhet.

Det blir mycket jobb för att få fram tabellen, men när den väl är klar går beräkningarna som en dans.

astronomiska räkningar

Nu var det inte riktigt så här Napier gjorde för att få fram sina logaritmer. Begreppet exponenter var fortfarande okänt, så Napier fick gå en annan väg för att komma fram till samma sak.

Vidare var de Napierska logaritmerna avsedda för astronomiska räkningar med sinus och cosinus för vinklar, och de hade egentligen ingen bas utan var mer komplicerat uppbyggda.

Redan under sitt första besök i Merchiston Castle var Henry Briggs var på det klara med att Napiers loga­ritmer inte var de bästa. Låt oss gå tillbaka till år 1614.

– Vore det inte bättre, säger Henry Briggs, att välja talet tio som bas för logaritmerna? Det skulle nog lämpa sig bättre för vanliga uträkningar. Då skulle ju samma uppslags­värde kunna användas även om talet multiplicerades med valfri multipel av tio.

– Jag har också kommit fram till den slutsatsen, svarar Napier, men det får någon annan göra. Jag har tillbringat 23 år med att räkna ut en miljon siffervärden för mina logaritmer, och jag orkar inte göra om det igen för en ny tabell med tiologaritmer. Det får ni göra, professor Briggs.

Och så blev det. Det tog bara fem år innan Briggs, med lite hjälp, färdigställt en sjuställig tabell över tiologaritmer, de vi i dag kallar ”vanliga” eller briggska logaritmer.

Det visade sig snart att logaritmernas princip kunde användas till ett räknehjälpmedel som vida överträffade Napiers ben. År 1622 hade matematikern William Oughtred konstruerat räknestickan, med vars hjälp man rasande snabbt kunde göra överslagsberäkningar.

Det var inte bara Napier som kommit på principen för logaritmerna. En schweizisk urmakare vid namn Joost Bürgi publicerade 1620 en egen logaritmtabell med basen 1,0001. Den fungerade lika bra som Napiers och Briggs tabeller, men fick aldrig någon spridning.